有界域上Ginzburg-Landau ∇φ界面模型的涨落

我们研究 $D_n = D \cap \tfrac{1}{n} \Z^2$ 上的无质量场，其中 $D \subseteq \R^2$ 是具有光滑边界的有界域，哈密顿量为 $\CH(h) = \sum_{x \sim y} \CV(h(x) - h(y))$。相互作用 $\CV$ 被假定为对称且一致凸的。这是一个 $(2+1)$ 维有效界面的通用模型，其中 $h$ 表示高度。我们将边界条件取为宏观倾斜的连续扰动：对于 $x \in \partial D_n$，$h(x) = n x \cdot u + f(x)$，其中 $u \in \R^2$，$f \colon \R^2 \to \R$ 连续。我们证明，关于倾斜的 $h(x)$ 线性泛函的涨落在极限下收敛到 $D$ 上的高斯自由场，即关于加权 Dirichlet 内积 $(f,g)_\nabla^\beta = \int_D \sum_i \beta_i \partial_i f_i \partial_i g_i$ 的标准高斯分布，其中 $\beta = \beta(u)$ 是显式的。在后续文章中，我们将利用这里发展的工具来解决 Sheffield 的一个猜想，即 $h$ 的零等高线渐近地由 $SLE(4)$（一种共形不变的随机曲线）描述。