任意维环面上的多重调和场与 Liouville 量子引力测度：从离散到连续

对于任意维度 $n$，我们研究：(a) 离散环面 $\mathbb{T}^n_L = \frac{1}{L} \mathbb{Z}^{n} / \mathbb{Z}^{n}$ 上的多重调和 Gaussian 场 $h_L$，即其分布由 \begin{equation*} c_n\, e^{-b_n\|(-\Delta_L)^{n/4}h\|^2} dh \end{equation*} 给出的 $\mathbb{R}^{\mathbb{T}^{n}_{L}}$ 上的随机场，其中 $dh$ 是 Lebesgue 测度，$\Delta_{L}$ 是离散 Laplacian；(b) 与之相关的离散 Liouville 量子引力测度，即 $\mathbb{T}^{n}_{L}$ 上的随机测度 \begin{equation*}\mu_{L}(dz) = \exp \Big( \gamma h_L(z) - \frac{\gamma^{2}}{2} \mathbf{E} h_{L}(z) \Big) dz,\end{equation*} 其中 $\gamma$ 是正则性参数。当 $L\to\infty$ 时，我们证明了场 $h_L$ 收敛到连续环面 $\mathbb{T}^n = \mathbb{R}^{n} / \mathbb{Z}^{n}$ 上的多重调和 Gaussian 场 $h$，并且对于所有 $|\gamma| < \sqrt{2n}$，随机测度 $\mu_L$ 收敛到 $\mathbb{T}^n$ 上的 LQG 测度 $\mu$。