高斯乘法混沌测度的精确维数与投影性质

给定正则平面区域 $D$ 上的一个测度 $\nu$，本文所研究的高斯乘法混沌测度是由 $\nu$ 加权的 $D$ 上高斯自由场的 $\gamma$ 参数圆平均的指数极限所得到的随机测度 ${\widetilde \nu}$。我们研究这些随机测度的维数与几何性质。我们首先证明，若 $\nu$ 是 $D$ 上具有精确维数 $\alpha>0$ 的有限 Borel 测度，则当且仅当 $\frac{\gamma^2}{2}<\alpha$ 时，关联的 GMC 测度 ${\widetilde \nu}$ 非退化且几乎必然具有精确维数 $\alpha-\frac{\gamma^2}{2}$。接着我们证明，若 $\nu_t$ 是一个 H"{o}lder 连续参数化的测度族，则只要 $\gamma$ 足够小，${\widetilde \nu}_t$ 的总质量随 $t$ 作 H"{o}lder 连续变化。作为一个应用，我们证明若 $\gamma<0.28$，则几乎必然地，$\gamma$-Liouville 量子引力测度 ${\widetilde \mu}$ 在严格凸域 $D$ 上所有方向的正交投影同时关于 Lebesgue 测度绝对连续，且具有 H"{o}lder 连续的密度。此外，${\widetilde \mu}$ 几乎必然具有正的傅里叶维数。