Liouville 量子引力中的场 - 测度对应几乎必然同时与所有共形映射交换

在 Liouville 量子引力（或 $2d$-Gaussian multiplicative chaos）中，人们试图定义一个测度 $\mu^h = e^{\gamma h(z)} dz$，其中 $h$ 是平面区域 $D$ 上的高斯自由场的一个实例。由于 $h$ 是一个分布而非函数，需要一个正则化程序使其精确化：例如，可以让 $h_\epsilon(z)$ 为 $h$ 在以 $z$ 为中心、半径为 $\epsilon$ 的圆上的平均值（或使用支持在该圆内的 bump 函数定义的类似平均值），然后写出 $\mu^h = \lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{\frac{\gamma^2}{2}} e^{\gamma h_\epsilon(z)} dz$。如果 $\phi: \tilde D \to D$ 是一个共形映射，可以写出 $\tilde h = h \circ \phi + Q \log |\phi'|$，其中 $Q = 2/\gamma + \gamma/2$。$\tilde D$ 上的测度 $\mu^{\tilde h}$ 几乎必然 (a.s.) 等价于 $D$ 上测度 $\mu^h$ 通过 $\phi^{-1}$ 的回拉。有趣的是，虽然这对每个给定的 $\phi$ 几乎必然成立，但从未有人证明它对所有可能的 $\phi$ 同时几乎必然成立。我们将证明情况确实如此。这在概念上很重要，因为人们经常将量子曲面定义为对 $(D, h)$ 的等价类（其中如上所述的 $(D,h)$ 和 $(\tilde D, \tilde h)$ 等对被视为等价），并且知道从等价类中的对 $(D,h)$ 集合获得的对 $(D,\mu^{h})$ 集合本身也是关于通常测度回拉关系的一个等价类是很有用的。