临界状态下的 Liouville Brownian 运动

在本文中，我们构造了中心荷 $c=1$ 的 Liouville 量子引力的 Brownian 运动（更确切地说，我们局限于相应的自由场论）。$c=1$ 的 Liouville 量子引力对应于二维弦论，并且是以共形方式嵌入二维曲面的、加权了 $O(n=2)$ 圈模型或 $Q=4$ 态 Potts 模型的大平面图的猜想标度极限。遵循 \cite{GRV1}，我们首先从 $\mathbb{R}^2$（或 $x\in\S^2$）中的一个固定点 $x$ 构造临界 LBM，这相当于根据临界 Liouville 测度 $M'(dx)=-X(x)e^{2X(x)}\,dx$（其中 $X$ 是高斯自由场，例如在 $\mathbb{S}^2$ 上）的局部行为来改变标准平面 Brownian 运动的速度。将此构造同时扩展到 $\mathbb{R}^2$ 中的所有点需要对测度 $M'$ 的势性质进行精细分析。这使我们能够构造一个具有连续样本轨道的强 Markov 过程，其生活在 $M'$ 的支撑集上，即一个 Hausdorff 维数为 0 的稠密集。最后，我们构造了相关的 Liouville 半群、预解式、Green 函数、热核和 Dirichlet 型。在此过程中，我们将 \cite{Rnew7,Rnew12} 中发起的临界 Gaussian 乘性混沌的构造推广到了相当一般的情形，并建立了关于临界 Gaussian 乘性混沌的新容量估计。