临界高斯乘性混沌的重正化与 KPZ 公式

高斯乘性混沌 (Gaussian Multiplicative Chaos) 是一种在 $\R^d$（或其子域）上构造形如 $e^{\gamma X(x)} dx$ 的测度的方法，其中 $X$ 是对数相关高斯场，$\gamma \in [0,\sqrt{2d})$ 为固定常数。由于 $X$ 在 $-\infty$ 和 $\infty$ 之间振荡且不是通常意义下的函数，因此需要重正化程序使其严格化。该程序在 $\gamma=\sqrt{2d}$ 时产生零测度。已有两种方法被提出以在 $\gamma=\sqrt{2d}$ 时产生非平凡测度：第一种涉及在 $\gamma=\sqrt{2d}$ 处取导数（此前已由本文作者在一篇早期论文中研究），第二种则涉及修改后的重正化方案。我们在此证明这两种构造是等价的，并利用这一事实推导该随机测度的若干定量性质。特别是，我们完成了对导数乘性混沌矩的研究，从而得以建立临界状态下的 KPZ 公式。本文也涵盖了二维（无质量或有质量）高斯自由场的情形。