随机矩阵理论中正则化计数统计的亚临界乘性混沌

对于 $N \times N$ 随机幺正矩阵 $U_N$，我们考虑通过计数单位圆中介观弧段内 $U_N$ 的特征值数量所定义的随机场，并在依赖于 $N$ 的尺度 $\epsilon_N>0$ 上进行正则化。我们证明，该场的重整化指数在 $N \to \infty$ 时在整个亚临界相收敛于一个高斯乘性混沌测度。此外，我们证明总质量的矩收敛于一个 Selberg 型积分，并通过取弧段大小趋于无穷的进一步极限，部分证实了 \cite{Ost16} 中的猜想。通过类似构造，我们证明来自 sine 过程的乘性混沌测度具有相同的分布，这强烈暗示该极限对象应是普适的。证明基于对某些 Toeplitz 或 Fredholm 行列式的渐近分析，使用了 Borodin-Okounkov 公式或可积算子的 Riemann-Hilbert 问题。我们对 $L^{1}$-相的处理基于将 Berestycki \cite{Berestycki15} 中的构造推广到仅是 \textit{渐近} 高斯的随机场。特别地，我们的方法可能对来自随机矩阵理论或其他背景的其他随机场也有应用。