基于 Malliavin 变分的虚乘性混沌密度

我们考虑虚高斯乘性混沌，即对于 $d \geq 1$ 维中对数相关高斯场 $\Gamma$ 的复 Wick 指数 $\mu_\beta := :e^{i\beta \Gamma(x)}:$。我们证明了一个基本密度结果，表明对于任何非零连续测试函数 $f$，复值随机变量 $\mu_\beta(f)$ 相对于 $\mathbb{C}$ 上的勒贝格测度具有光滑密度。作为推论，我们推导出单位圆上虚混沌的负矩不对应于 Fyodorov-Bouchaud 公式的解析延拓，即使在其有定义时也是如此。令人惊讶的是，虚混沌的基本密度结果并不容易证明，本文的主要贡献之一是将 Malliavin 变分引入（复）乘性混沌的研究。为了将 Malliavin 变分应用于虚混沌，我们通过算子理论的少许迂回，为非退化对数相关场开发了一个新的分解定理，并获得了虚混沌 Sobolev 范式的小球概率。