虚高斯乘性混沌的傅里叶维数

我们研究了虚高斯乘性混沌在单位圆上的高频傅里叶渐进行为，该混沌形式上给定为$\mathrm M_{\mathrm i\beta}=\exp(\mathrm i\beta X)$，其中$X$为对数相关高斯场。在亚临界相$\beta\in(0,1)$下，我们证明了其傅里叶维数——定义为$|\widehat{\mathrm M_{\mathrm i\beta}}(n)|^2$的最优多项式衰减指数——几乎必然等于$1-\beta^2$。该结果适用于广泛的对数相关场，其协方差与精确对数核之间相差足够光滑的函数。对于完全对数相关的圆上的场，我们获得以下结果。我们证明了该混沌几乎不属于$H^{-\beta^2/2}(\mathbb T)$，即先前规律性结果所留下的临界索伯亚空间。我们进一步建立了中心极限定理：重缩放系数$n^{(1-\beta^2)/2}\widehat{\mathrm M_{\mathrm i\beta}}(n)$按分布收敛于各向同性复高斯随机变量，多个连续系数的重缩放系数按联合分布收敛于独立的副本。$\mathrm M_{\mathrm i\beta}$的高频内容表现为白噪声：$n^{(1-\beta^2)/2}e^{\mathrm ii n\theta}\mathrm M_{\mathrm i\beta}$在$H^s(\mathbb T)$中收敛于$s<-1/2$的复白噪声，其显式强度为$\kappa(\beta)=\frac{1}{\pi}\Gamma(1-\beta^2)\sin\big(\frac{\pi\beta^2}{2}\big)$。该证明依赖于来自库仑气积分和Jack多项式展开得到的矩恒等式。其渐进分析由具有大间隙的分区控制，其在这些展开中出现的Pieri系数简化，主导贡献变得显式。