具有任意Sobolev正则性密度的高斯随机波的临界点渐近性

我们考虑平面上的高斯随机单色波$u$,其依赖于一个实参数$s$,该参数与$u$的傅里叶变换的正则性直接相关。具体而言,$u$的傅里叶变换为$f\,d\sigma$,其中$d\sigma$为单位圆上的豪斯多夫测度,密度$f$为圆上的一个函数,粗略地说,其几乎必然在$L^2$中恰好有$s-\frac12$阶导数。当$s=0$时,恢复为具有平移不变协方差核的随机波的经典情形。本文的核心在于探索正则性参数$s$与包含在半径$R\gg1$圆盘内的临界点个数$N(\nabla u,R)$的渐近行为之间的联系。更精确地,我们证明当正则性较低($s<\frac32$)时期望$\mathbb{E}N(\nabla u,R)$随圆盘面积增长,而当正则性较高($s>\frac52$)时随直径增长,且在中间 regime 中相应指数按线性插值规律变化。端点情形处的转变涉及半径对数的平方根。有趣的是,最高的渐近增长率仅出现在经典平移不变情形$s=0$。证明该结果的关键一步是获得某些贝塞尔函数诺伊曼级数的精确渐近展开。当正则性参数$s>5$时,我们证明事实上$N(\nabla u,R)$几乎必然随直径增长,尽管该比值不是普适常数而是随机变量。