高斯场的零点与临界点：累积矩渐近与极限定理

设$f:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^k$为光滑的平稳高斯场，$\mathcal{B} \subset \mathbb{R}^d$为有界Borel集。本文确定当$R \to \infty$时，所有累积矩关于$(d-k)$维体积的渐近行为，其中体积为$f^{-1}(0) \cap R\mathcal{B}$。当$k=1$时，我们获得$f$在$R\mathcal{B}$中临界点的数量的类似渐近行为。我们的主要假设包括场的光滑性和非退化性，以及其协方差核第一导数在严格可积性条件下的 mild 可积性。作为这些累积矩估计的推论，我们推导出所研究场的强大数独立定律和中心极限定理，适用于节点体积(或临界点数量)。我们的结果更一般地适用于一参数族$(f_R)$的高斯场，当$R \to \infty$时，其在局部具有平稳尺度极限；例如，当度数趋于无穷大时，Kostlan多项式。它们也适用于当$R \to +\infty$时，对$f_R$消失轨迹上积分的随机测度。