高斯随机多项式的零点与临界点之间的相关性与配对

我们研究了 $p_N$ 的零点与全纯临界点之间的相关性渐近行为及最近邻间距，其中 $p_N$ 是 Shiffman 和 Zelditch 意义下的 $N$ 次 Hermite 高斯随机多项式，且 $N$ 趋于无穷大。全纯临界点是指方程 $\frac{d}{dz}p_N(z)=0$ 的解。我们的主要结果是给出了 $\E{Z_{p_N}\wedge C_{p_N}}$ 的局部缩放极限的显式渐近公式，即黎曼球面上任意点周围零点和临界点的期望联合强度。这里 $Z_{p_N}$ 和 $C_{p_N}$ 分别是 $p_N$ 的零点和临界点上的积分流（即计数测度）。我们证明了零点与临界点之间的相关性是短程的，衰减形式为 $e^{-N\abs{z-w}^2}$。然而，当 $\abs{z-w}$ 的量级为 $N^{-1/2}$ 时，$\E{Z_{p_N}\wedge C_{p_N}}(z,w)$ 在 $z=w$ 附近急剧 peaked，导致零点和临界点以刚性对的形式出现。我们计算了临界点与其配对零点之间的期望距离和角度依赖性的紧界。