随机全纯截面的临界点数的渐近性与维数依赖性

我们证明了 [M. R. Douglas, B. Shiffman 和 S. Zelditch, Critical points and supersymmetric vacua, II: Asymptotics and extremal metrics. J. Differential Geom. 72 (2006), no. 3, 381-427] 中关于正线丛的随机全纯截面临界点期望数的两个猜想。我们表明,在平均意义下,极小 Morse 指标的临界点对于 ${\mathcal O}(N) \to \CP^m$ 的全纯截面以及(在渐近意义下)对于一般 K\"ahler 流形上线丛的全纯截面而言是最为众多的。我们计算了这些临界点在前述各情形中的期望数,并由此得到这些情形中临界点总期望数的增长率与渐近界。这一研究方向受弦论与自旋玻璃中的景观问题所推动。