多变量极值主成分投影的渐近行为

多维随机向量的极端依存结构可由其角度测度描述。标准的非参数估计器是对具有最大范数之 $k$ 个随机向量的观测角度的经验测度，$k$ 取于合适的数值。由于维数灾难，当 $d$ 较大或中等时，这一估计器常常不准确。如果角度测度集中在较低维子空间的附近，则首先对极端观察角度进行主成分分析 (PCA) 以获得的较低维子空间上的投影，可以显著改善该估计器的性能。我们推导了此类 PCA 投影及其剩余风险的渐近行为。特别地，证明在 mild 条件下，剩余风险（作为 $k$ 的函数）的下降速度远快于文献 \cite{DS21} 中获得的经验风险界限所暗示的速度。此外，在真实最优投影的邻域中一致地对局部经验过程（经验）的投影重构误差建立了函数极限定理。基于这些渐近结果，我们提出一种数据驱动的方法来选择投影空间的维数。最后，在模拟研究中检验了所得估计器的有限样本性能。