临界点与超对称真空，II：渐近性与极值度量

受弦/M 理论的真空选择问题启发，我们研究紧致 Kähler 流形上正 Hermitian 线丛 $(L, h)\to M$ 的一个新几何不变量：关于 Chern 联络 $\nabla_h$ 的高斯随机全纯截面 $s \in H^0(M, L)$ 的临界点的期望分布。它是 $M$ 上的一个测度，其总质量为随机全纯截面的平均临界点个数 $\mathcal{N}^{crit}_h$。我们关注 $\mathcal{N}^{crit}_h$ 对度量的依赖性，尤其是使 $\mathcal{N}^{crit}_h$ 最小的度量 $h$。我们集中于线丛及其临界点密度 $\mathcal{K}^{crit}_{N,h}(z)$ 的张量幂序列 $(L^N, h^N)\to M$ 的渐近极小化问题。我们证明 $\mathcal{K}^{crit}_{N,h}(z)$ 具有关于 $N$ 的完整渐近展开，其系数为 $h$ 的曲率不变量。$\mathcal{N}^{crit}_{N,h}$ 展开式的前两项是 $(L, M)$ 的拓扑不变量。第三项是拓扑不变量加上常数 $\beta_2(m)$（仅依赖于 $M$ 的维数 $m$）乘以 Calabi 泛函 $\int_M \rho^2 dV_h$，其中 $\rho$ 是 Kähler 度量 $\omega_h:=\frac i2 \Theta_h$ 的数量曲率。我们给出了 $\beta_2(m)$ 的积分公式，并通过计算机辅助计算表明当 $m\leq 5$ 时 $\beta_2(m)>0$，因此 $\mathcal{N}^{crit}_{N,h}$ 的渐近极小化度量由 Calabi 极值度量实现（当存在时）。我们猜想在所有维数下 $\beta_2(m)>0$，即 Calabi 极值度量总是渐近极小化者。