关于 Higgs 丛的 Kobayashi 泛函

我们为紧 Kähler 流形上任意 Higgs 丛的 Hermite 度量空间定义了一个泛函 ${\cal J}(h)$，作为 Kobayashi 针对全纯向量丛的平均曲率能量泛函 \cite{Kobayashi} 的自然推广，并研究了其一些基本性质。我们证明了 ${\cal J}(h)$ 存在依赖于 Higgs 丛和 Kähler 流形不变量的非负常数下界，并且当达到下界时，其绝对极小值为 Hermite-Yang-Mills 度量。我们推导了一个联系 ${\cal J}(h)$ 与另一个泛函 ${\cal I}(h)$ 的公式，后者与 Yang-Mills-Higgs 泛函 \cite{Bradlow-Wilkin, Wentworth} 密切相关，这可视为 Kobayashi 针对全纯向量丛的公式向 Higgs 丛情形的推广。最后，利用 Higgs 丛上 Hermite 度量空间中的单参数族，我们计算了 ${\cal J}(h)$ 的一阶变分，并将其表示为某种 $L^{2}$-Hermite 内积。由此可得，Higgs 丛上的 Hermite 度量是 ${\cal J}(h)$ 的临界点，当且仅当相应的 Hitchin--Simpson 平均曲率关于 Hitchin--Simpson 联络是平行的。