循环Higgs丛上调和度量的Shannon熵 II

设 $X$ 为黎曼曲面，$K_X \rightarrow X$ 为典范丛。对每个整数 $r \geq 2$、每个 $q \in H^0(K_X^r)$ 以及典范丛的每个平方根 $K_X^{1/2}$ 的选取，我们得到一个Higgs丛，称为循环Higgs丛。循环Higgs丛上的对角调和度量 $h = (h_1, \dots, h_r)$ 给出 $K_X^{-1} \rightarrow X$ 上的 $r-1$ 个埃尔米特度量 $H_1, \dots, H_{r-1}$，而 $h_1$、$h_r$ 与 $q$ 给出 $K_X^{-1}\rightarrow X$ 上的一个退化埃尔米特度量 $H_r$。$r$-微分形式 $q$ 在 $K_X$ 上诱导了一个次调和权函数 $\phi_q=\frac{1}{r}\log|q|$，而对角调和度量仅依赖于这个权函数。在之前的论文中，作者研究了与任意次调和权函数 $\varphi$ 相关联的调和度量的延拓，这也构造了 $K_X^{-1}\rightarrow X$ 上的埃尔米特度量 $H_1,\dots, H_r$。特别地，作者引入了一个称为熵的函数，用于量化度量 $H_1,\dots, H_r$ 之间的相互不一致程度。在本文中，类比统计力学中的正则系综，我们进一步引入一个称为自由能的量。当 $H_1,\dots, H_{r-1}$ 均完备且满足关于其逼近的条件时，我们给出了自由能在每一点递减的充分条件；当 $r=2,3$ 时，我们也给出了熵在每一点递增的充分条件。此外，在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上，当 $\varphi$ 在一个紧子集之外为 $C^2$ 时，我们从熵和自由能的角度给出了函数 $e^\varphi h_\ast^{-1} \otimes h_{\mathbb{D}}$ 有界的充分必要条件，其中 $h_{\mathbb{D}}$ 表示由庞加莱度量诱导的埃尔米特度量。这一结果推广了 Wan、Benoist-Hulin、Labourie-Toulisse 以及 Dai-Li 的工作。