黎曼曲面上随机亚纯函数的零点与临界点配对

我们证明了一个复变量中次数为 $N$ 的随机多项式 $p_N$ 的零点和临界点是成对出现的。更确切地说，如果条件设定 $p_N$ 在固定的 $\xi \in \C\backslash\set{0}$ 处满足 $p_N(\xi)=0$，我们证明在环域 N^{-1-\ep}<\abs{z-\xi}< N^{-1+\ep}} 中存在唯一的临界点 $z$，且在概率至少为 $1-O(N^{-3/2+3\ep})$ 的情况下，不存在比这更靠近 $\xi$ 的临界点。我们还在封闭黎曼曲面上随机亚纯函数这一更一般的设定中证明了一个类似的结论。