关于随机多项式临界点与根的局部配对行为

我们研究多项式 $p_n(z) = \prod_{j=1}^n(z-X_j)$ 的零点与临界点之间的配对，其根 $X_1, \ldots, X_n$ 为复值随机变量。在正则性假设下，我们证明若根独立同分布，则 $p_n$ 的根与临界点的经验分布之间的 Wasserstein 距离在至多对数修正下为 $1/n$ 量级。证明依赖于在复平面上仔细构造互不相交的随机 Jordan 曲线，使我们能自然地将根与邻近临界点配对。此外，我们建立了到若干固定根的最近临界点的位置关于 $1/n^2$ 阶的渐近展开。这使我们能描述当 $n$ 趋于无穷时临界点的联合极限涨落，推广了 Kabluchko 与 Seidel 的近期结果。最后，我们给出了一条局部律，描述了当根既非独立也非同分布时临界点的行为。