随机多项式的临界点与有限自由累积量
概率论
2025-07-30 v2 算子代数
摘要
Hoskins 和 Steinerberger [Int. Math. Res. Not., (13):9784-9809, 2022] 的一个结果表明，对具有独立同分布均值为零且方差为一的根的多项式反复求导，经过适当的重缩放后，将得到 Hermite 多项式。我们利用有限自由概率理论在两个自然方向上扩展了这一结果：(1) 我们证明了这些多项式及其根围绕这些确定性极限的波动的中心极限定理。(2) 我们通过去除根的有限二阶矩假设，考虑了 Hoskins 和 Steinerberger 结果的推广版本。在这种情况下，Hermite 多项式被替换为一个随机 Appell 序列，该序列可通过有限自由概率和无限可分分布方便地描述。我们利用有限自由累积量为我们的主要结果提供了简洁的证明，且对自由概率的先验知识要求很少。
引用
@article{arxiv.2506.08910,
title = {Critical points of random polynomials and finite free cumulants},
author = {Octavio Arizmendi and Andrew Campbell and Katsunori Fujie},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.08910},
year = {2025}
}
备注
13 pages. V2: Added simulations and made small corrections