随机酉矩阵特征多项式的一种新方法

自 Keating 与 Snaith 的开创性工作以来，随机 Haar 分布酉矩阵的特征多项式的若干泛函被研究或转化为猜想；例如：$\bullet$ 其在 $1$ 处的值（Keating-Snaith 定理），$\bullet$ 其傅里叶级数截至其阶的任何分数处的截断，$\bullet$ Birkhoff 多胞形相对体积的计算，$\bullet$ 其在不同点取值的乘积与比值，$\bullet$ 其在不同点迭代导数的乘积，$\bullet$ 与 $\mathbb{F}_q[X]$ 中除数函数和有关的泛函，$\bullet$ 其中间久期系数，$\bullet$ “矩的矩”，等等。我们重访或首次计算了我们最后列举的这些及其他若干泛函的整数矩的渐近性。我们使用的方法非常一般，基于再生核、某些经典正交多项式的对称函数推广（解释为特定随机变量的傅里叶变换）以及这些随机变量的局部中心极限定理。此外，我们提供了基于中间久期系数随机化的等价范式以重新推导它们全部。这些方法为所有考虑的极限给出了一个新的统一框架，并解释了极限泛函中 Hankel 行列式或 Wronskian 的出现。