独立同分布根的随机多项式的高斯-莱昂斯定理渐近细化

若$p:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$为非常数多项式，高斯-莱昂斯定理断言，其临界点包含于其根的凸包内。我们考虑当$p$是由在复平面上从径向对称、紧支撑概率测度$\mu$中独立选择根的随机多项式的情况。我们表明，最大(模)临界点与$p$的最大根紧密配对。这使我们能够计算当多项式次数$n$趋于无穷大时，最大临界点的渐近波动。我们表明，波动的限制分布由高斯分布或重尾稳定分布描述，这取决于$\mu$在其支撑边缘处的行为。作为一个推论，我们获得了随机多项式的高斯-莱昂斯定理的渐近细化。