Gauss-Lucas 定理的稳定性版本及其应用

设 $p:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 为一个多项式。Gauss-Lucas 定理指出其临界点 $p'(z) = 0$ 包含于其根构成的凸包中。我们证明了一个稳定性版本，其最简形式如下：设 $p$ 有 $n+m$ 个根，其中 $n$ 个在单位圆盘内， \max_{1 \leq i \leq n}{|a_i|} \leq 1, \quad \mbox{且 $m$ 个在外} \quad \min_{n+1 \leq i \leq n+m}{ |a_i|} \geq d > 1 + \frac{2 m}{n}, 则 $p'$ 有 $n-1$ 个根在单位圆盘内，且有 $m$ 个根到原点的距离至少为 $(dn - m)/(n+m) > 1$，且所涉常数是尖锐的。我们还讨论了一个配对结果：在上述设定中，当 $n$ 充分大时，$m$ 个根中的每一个都有一个距离 $\sim n^{-1}$ 的临界点。