多项式平移凸包的交与临界点

设 $p(z)$ 为次数 $n\ge 2$ 的复多项式。对每个 $c\in\mathbb{C}$，令 $K_c$ 表示 $p(z)+c$ 零点的凸包，并令 $K'$ 表示 $p'(z)$ 零点的凸包。我们结合严格分离超平面论证与无临界点多边形的半平面非满射定理（通过解析延拓、单值化定理与 Liouville 定理证明），证明了 $$\bigcap_{c\in\mathbb{C}} K_c = K'.$$ 我们还根据构成 $K_0$ 顶点的 $p(z)$ 零点的重数，刻画了 $K_0=K'$ 何时成立。作为一个应用，我们得到了 Schmeisser 猜想的部分结果：若 $p$ 的所有零点均位于闭单位圆盘内，则对每个 $\zeta\in K'$，圆盘 $|z-\zeta|\le \sqrt{1-|\zeta|^2}$ 包含 $p(z)$ 的一个临界点。最后，我们改进了 \cite{Zha26+} 中最近的重心界，证明在零点重心 $G$ 的距离 $\sqrt{\frac{n-2}{n-1}}\sqrt{1-|G|^2}$ 内总存在一个临界点。