泄漏根与稳定的 Gauss-Lucas 定理

设 $p:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 为一个多项式。Gauss-Lucas 定理指出其临界点 $p'(z) = 0$ 包含于其根的凸包中。Totik 近期给出的一个定量版本表明，若几乎所有根包含于一个有界凸域 $K \subset \mathbb{C}$ 中，则导数 $p'$ 的几乎所有根在一个 $\varepsilon-$邻域 $K_{\varepsilon}$ 中（在精确意义下）。我们证明了另一个定量版本：若多项式 $p$ 在 $K$ 中有 $n$ 个根且在 $K$ 外有 $\lesssim c_{K, \varepsilon} (n/\log{n})$ 个根，则 $p'$ 在 $K_{\varepsilon}$ 中至少有 $n-1$ 个根。这在相差一个对数因子的意义下确立了第一作者的一个猜想：我们还讨论了一个开放问题，其解决将蕴含完整猜想。