特殊五项递推关系、带状 Toeplitz 矩阵与零点实性

下面我们建立保证多项式序列 $\{P_n(z)\}_{n=1}^{\infty}$ 中多项式 $P_n(z)$ 所有零点均为实数的条件，该序列满足五项递推关系 $$P_{n}(z)= zP_{n-1}(z) + \alpha P_{n-2}(z)+\beta P_{n-3}(z)+\gamma P_{n-4}(z),$$ 及标准初始条件 $$P_0(z) = 1, P_{-1}(z) = P_{-2}(z) =P_{-3}(z) = 0,$$ 其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 为实系数，$\gamma\neq 0$，$z$ 为复变量。我们将该多项式序列解释为某个带状 Teoplitz 矩阵（原文如此）的主子式，其伴随 Laurent 多项式 $b(z)$ 在 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 上全纯。我们证明当 $b(z)$ 的临界点全为实数；或其临界点为两个实数与一对共轭复数且对参数有若干额外条件时，集合 $b^{-1}(\mathbb{R})$ 包含一条以 $0$ 为内点的 Jordan 曲线，在某些情况下还包含一条包围 $0$ 的非简单曲线。所述曲线的存在是序列 $\{P_n(z)\}_{n=1}^{\infty}$ 中每个多项式均为双曲（实根）的必要且充分条件。