一类PT对称振子特征值实性研究

我们研究特征值问题 -u"(z)-[(iz)^m+P(iz)]u(z)=\lambda u(z)，边界条件为u(z)沿射线\arg z=-\frac{\pi}{2}\pm \frac{2\pi}{m+2}当z趋于无穷时衰减到零，其中P(z)=a_1 z^{m-1}+a_2 z^{m-2}+...+a_{m-1} z是实多项式且m\geq 2。我们证明如果对于某个1\leq j\leq\frac{m}{2}，对所有1\leq k\leq m-1有(j-k)a_k\geq 0，则特征值全为正实数。随后我们将此结果 sharpen 到稍大一类多项式势。特别地，这意味着对于势\alpha iz^3+\beta z^2+\gamma iz，当\alpha,\beta和\gamma均为实数且\alpha\not=0以及\alpha \gamma \geq 0，并满足u(z)沿正负实轴趋于无穷时衰减到零的边界条件时，特征值全为正实数。这验证了Bessis和Zinn-Justin的一个猜想。