带圆角域中等离子体问题谱的振荡行为

我们研究在划分为两个区域 $\Omega_{\pm}$ 的二维域 $\Omega$ 中的特征值问题 $-\text{div}(\sigma \nabla u) = \lambda u\ (\mathscr{P})$。我们关注 $\sigma$ 在 $\Omega_{+}$ 取正值而在 $\Omega_{-}$ 取负值的情况。此类问题出现在时谐电磁学中对等离子体技术的建模中。在最近的工作[15]中，我们强调了与 $(\mathscr{P})$ 相关的源项问题的一个不寻常的不稳定现象：对于某些构型，当子域 $\Omega_{\pm}$ 之间的界面呈现圆角时，解可能关键依赖于圆角参数的值。在本文中，我们通过研究特征值问题 $(\mathscr{P})$ 来解释这一性质。我们给出了特征值的渐近展开并证明了误差估计。我们建立了当角的圆角参数趋于零时特征值的振荡行为。我们在文末通过数值实验说明了这一现象。