具有振荡非线性扩散的常微分方程分支曲线的渐近行为

我们考虑非线性特征值问题 $[D(u(t))u(t)']' + \lambda g(u(t)) = 0$，$u(t) > 0$，$t \in I := (0,1)$，$u(0) = u(1) = 0$，该问题源于多孔介质型方程。此处，$D(u) = pu^{2n} + \sin u$（$n \in \mathbb{N}$，$p > 0$：给定常数），$g(u) = u$ 或 $g(u) = u + \sin u$。$\lambda > 0$ 是分支参数，它是对应于 $\lambda$ 的解 $u_\lambda$ 的 $\alpha = \Vert u_\lambda\Vert_\infty$ 的连续函数，并表示为 $\lambda = \lambda(\alpha)$。由于我们的方程在扩散项中包含振荡项，研究该振荡项如何对分支曲线 $\lambda(\alpha)$ 的结构产生影响似乎具有重要意义。我们证明了最简单情形 $D(u) = u^{2n} + \sin u$ 与 $g(u) = u$ 给出了对 $\lambda(\alpha)$ 全局行为最为显著的现象。