线性分数阶微分方程多项式有界解的渐近行为

本文研究半直线上形如$D^{\alpha}_Cu(t)=Au(t)+f(t)$的分数阶微分方程解的渐近行为，其中$D^{\alpha}_Cu(t)$为函数$u$的Caputo意义导数，$A$一般为无界闭算子，$f$为多项式有界。为此，我们发展了半直线上多项式增长函数的谱理论。我们的主要结果表明：若$u$是Cauchy问题的温和解，满足$\lim_{h\downarrow 0} \sup_{t\ge 0} \| u(t+h)-u(t)\|/(1+t)^n=0$，且$\sup_{t\ge 0} \| u(t)\| /(1+t)^n <\infty$，则只要谱集$\Sigma (A,\alpha )\cap i\R$可数，就有$\lim_{t\to\infty} u(t)/(1+t)^n =0$；其中$\Sigma (A,\alpha )$定义为使$\lambda^{\alpha -1} (\lambda^\alpha -A)^{-1}$在$\xi$的邻域内解析的复数$\xi$的集合，且$u$满足某种遍历性