Monge-Ampère 方程的特征值、分岔及解的存在性与非存在性

本文研究如下 Monge-Ampère 方程的特征值边值问题：\begin{equation} \begin{array}{l} \det(D^2u)=\lambda^N f(-u)\,\, \text{in}\,\, \Omega, \\ u=0,\,\text{on}\,\, \partial \Omega. \end{array} \end{equation} 针对 $f(u)=u^N+g(u)$ 且 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中单位球的情形，我们建立了该问题的单侧全局分岔结果。更确切地说，在关于扰动函数 $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 的一些自然假设下，我们证明 $(\lambda_1,0)$ 是该问题的一个分岔点，并且存在两个不同的定号解的无界连续统，其中 $\lambda_1$ 是 $f(u)=u^N$ 时问题的第一特征值。作为上述结果的应用，我们考虑确定 $\lambda$ 的区间，使得该问题在单位球内存在解。此外，通过区域比较法，我们还得到了该问题在一般区域内凸解存在性与非存在性的一些结果。