d 维空间中多项式中心势的本征值界

如果单个粒子在 R^d 中服从非相对论量子力学，且具有哈密顿量 H = - Delta + f(r)，其中 f(r)=sum_{i = 1}^{k}a_ir^{q_i}, 2\leq q_i < q_{i+1}, a_i \geq 0$，则本征值 E = E_{n\ell}^{(d)}(\lambda) 近似由半经典表达式 E = \min_{r > 0}[\frac{1}{r^2} + \sum_{i = 1}^{k}a_i(P_ir)^{q_i}] 给出。已证明，若 P_i = P_{n\ell}^{(d)}(q_1)，该公式给出下界；若$P_i = P_{n\ell}^{(d)}(q_k)，则给出上界；若 P_i = P_{n\ell}^{(d)}(q_i)，则为一般近似公式。例如，对于 d 维空间中的量子非谐振子 f(r)=r^2+\lambda r^{2m},m=2,3,...，E = E_{n\ell}^{(d)}(\lambda) 由代数表达式 \lambda={1\over \beta}({2\alpha(m-1)\over mE-\delta})^m({4\alpha \over (mE-\delta)}-{E\over (m-1)}) 确定，其中 \delta={\sqrt{E^2m^2-4\alpha(m^2-1)}}，且 \alpha, \beta 为常数。本文还提供了每个角动量子空间中最低本征值的改进下界，并讨论了与 Bhattacharya 等人 (Phys. Lett. A, 244 (1998) 9) 以及 Dasgupta 等人 (J. Phys. A: Math. Theor., 40 (2007) 773) 近期结果的比较。