紧流形上扰动 Laplace 算子的特征值

我们获得了 Schr"odinger 算子 $L=\Delta_g+q$ 特征值的上界，该上界依赖于势函数 $q$ 的积分量和一个称为最小共形体积的共形不变量。此外，当 Schr"odinger 算子 $L$ 为正时，出现在上界中的 $q$ 的积分量可以用势函数 $q$ 的平均值代替。我们获得的上界与特征值的渐近行为相容。我们还通过两种方法获得了加权 Laplacian 或 Bakry-Emery Laplacian $\Delta_\phi=\Delta_g+\nabla_g\phi\cdot\nabla_g$ 特征值的上界：首先，利用 $\Delta_\phi$ 酉等价于一个 Schr"odinger 算子的事实，我们得到了一个依赖于 $\nabla_g\phi$ 的 $L^2$-范数和最小共形体积的上界。其次，利用其变分刻画，我们得到了一个依赖于 $\nabla_g\phi$ 的 $L^\infty$-范数和一个新的共形不变量的上界。第二种方法导出了一个 Buser 型上界，并且当 Bakry-Emery Ricci 曲率非负时，给出了不依赖于 $\phi$ 的上界。