加权拉普拉斯算子的最小极值谱估计

给定n次独立同分布观测，我们研究估计形如$\Delta_f=\Delta + \alpha \nabla \log f\cdot \nabla$的加权拉普拉斯算子谱的问题，其中f是已知紧致d维流形无边界上的正概率密度，$\alpha\in \mathbb{R}$为超参数。这些算子作为图拉普拉斯矩阵的连续极限，提供了关于底层数据分布的有价值的几何信息。我们建立了该问题的精确最小极值估计率，通过展示两种不同的收敛率来实现：特征函数和特征值的收敛率不同。当f属于正则性为$s\geqslant 2$的Hölder-齐米汀类$\mathscr{C}^s$时，通过插值方法，以$n^{-\frac{s+1}{2s+d}}$（对于$d\geqslant 3$，并针对$d\leqslant 2$给出不同的率）的最小极值率估计特征函数（以$\mathrm{L}^q$范数，$q\geqslant 1$）。此外，特征值可在最小极值率 n^{-\frac{4s}{4s+d}}+n^{-\frac 12 下估计。在$s>\frac d4$的区间中，我们进一步证明渐近有效估计器存在。我们还提出了一个用于估计Hölder-齐米汀空间上非线性函数值的通用框架，潜在可应用于广泛的统计问题。