非正曲率流形上本征函数估计的改进

设 $(M,g)$ 是一个维数为 $n$ 的紧致无边流形，其性质满足：(i) $n=2$ 且 $(M,g)$ 无共轭点，或 (ii) $(M,g)$ 的截面曲率非正。设 $\Delta$ 是由 $g$ 确定的 $M$ 上的正拉普拉斯算子。我们研究了宽度为 $1/\log\lambda$ 的 $\sqrt{\Delta}$ 谱簇的 $L^{2}\to{}L^{p}$ 映射性质。在上述几何假设下，B\'{e}rard \cite{berard77} 获得了本征值计数函数余项的对数改进，这直接导致了 H"ormander 关于本征函数 $L^{\infty}$ 范数估计的 $(\log\lambda)^{1/2}$ 改进。在本文中，我们将此改进推广到所有 $p>\frac{2(n+1)}{n-1}$ 的 $L^p$ 估计。