非正曲率曲面上特征函数沿曲线的积分

设 $(M,g)$ 为一个具有非正截面曲率的紧致二维黎曼流形。令 $\Delta_g$ 为 $M$ 上对应于度规 $g$ 的 Laplace-Beltrami 算子，令 $e_\lambda$ 为 $\Delta_g$ 的 $L^2$-归一化特征函数，其特征值为 $\lambda$，即 $$-\Delta_g e_\lambda = \lambda^2 e_\lambda.$$ 我们证明 $$\left| \int_{\mathbb R} b(t) e_\lambda (\gamma(t)) \, dt \right| = o(1) \quad \text{ as } \lambda \to \infty$$ 其中 $b$ 是 $\mathbb R$ 上的光滑紧支函数，$\gamma$ 是由弧长参数化的曲线，其测地曲率 $\kappa(\gamma(t))$ 对于每个 $t \in \operatorname{supp} b$ 均避开两个临界曲率 $\mathbf k(\gamma'^\perp(t))$ 和 $\mathbf k(-\gamma'^{\perp}(t))$。$\mathbf k(v)$ 表示圆心沿方向 $-v$ 的测地射线趋于无穷远时的圆的曲率。