黎曼曲面本征函数的测地周期积分与高斯-博内定理

我们利用高斯-博内定理以及 Rauch 和 Toponogov 的三角比较定理证明，在负曲率的紧黎曼曲面上，本征函数 $e_\lambda$ 沿测地线的周期积分若 $\lambda$ 为其频率，则以 $O((\log\lambda)^{-1/2})$ 的速率趋于零。如 \cite{CSPer} 中所讨论，在常曲率情形下若曲率 $\ge0$ 则不可能有此类结果。尽管如此，我们还证明只要曲率在所有半径 $r\le 1$ 的测地球上的积分被某个固定 $N$ 和 $\delta>0$ 的上界 $-\delta r^N$ 所夹挤（pinched from above），这些周期积分的界仍然成立。例如，这允许曲率非正且在有限个孤立点处以有限阶消失。自然地，上述结果对适当类型的准模也成立。