非正曲率黎曼曲面上的改进广义周期估计

我们证明，在负曲率紧黎曼曲面上，广义周期（即本征函数$e_\lambda$沿周期测地线$\gamma$的第$\nu$阶傅里叶系数）在$0<\nu<c_0\lambda$（给定任意$0<c_0<1$）时以$O((\log\lambda)^{-1/2})$的速率趋于0。对球面$S^2$或平环面$\mathbb T^2$则不可能有这样的结果。结合Toth和Zelditch的量子遍历限制结果，我们的结果意味着对紧双曲曲面上的通用闭测地线$\gamma$，正交基$\{e_{\lambda_j}\}$的限制$e_{\lambda_j}|_\gamma$存在一个满密度子列在$L^2(\gamma)$中弱收敛于零。我们的证明进一步精炼了Sogge、Xi和Zhang近期关于测地线周期积分（$\nu=0$）的论文，该文以Gauss-Bonnet定理作为关键定量工具来避开$M$万有覆盖上的测地矩形。相反，我们将运用Gauss-Bonnet定理来定量避开测地平行四边形。Gauss-Bonnet定理的使用还使我们能弱化曲率条件，允许曲率以有限型平均速率消失。