具有非正截面曲率的紧致无边 Riemann 流形上本征函数限制估计的改进

设 $(M,g)$ 为 $n$ 维具有非正截面曲率的紧致无边 Riemann 流形，则我们的结论是：与 Burq、G\'erard 和 Tzvetkov \cite{burq} 的一般结果相比，我们可以对本征函数限制到 $k$ 维光滑子流形上的 $L^p$ 范数给出改进的估计，其中当 $k=n-1$ 时 $p>\dfrac{2n}{n-1}$，当 $k\leq n-2$ 时 $p>2$。早先，B\'erard \cite{Berard} 针对无共轭点的 $n=2$ 紧致 Riemann 流形，或具有非正截面曲率的 $n\geq3$ 且 $k=n-1$ 的情形，在 $p=\infty$ 时给出了相同的改进。在本文中，我们给出了 $n=2$ 时本征函数限制到测地线上的 $L^p$ 范数的改进估计。我们的证明利用了如下事实：从任意点 $x\in M$ 出发的指数映射是从 $\mathbb{R}^2\backsimeq T_{x}M$ 到 $M$ 的泛覆盖映射，这使我们将计算提升至泛覆盖 $(\mathbb{R}^2,\tilde{g})$ 上，其中 $\tilde{g}$ 是 $g$ 通过指数映射的拉回。然后，我们利用 $(\mathbb{R}^2,\tilde{g})$ 上波动方程的 Hadamard 参数、稳相估计，以及基于 Sogge 和 Zelditch 在 \cite{SZ} 中的观察得出的 Hadamard 参数的主系数有界这一事实，证明了主要估计。该改进估计对 $n\geq 3$ 且 $p>\frac{4k}{n-1}$ 的情形同样成立。随后我们可通过插值得到完整结果。