流形上拉普拉斯-贝尔特拉米特征函数对任意集合的限制

给定无边界的紧黎曼流形 $(M, g)$，我们估计拉普拉斯-贝尔特拉米特征函数限制于 $M$ 上各类子集 $\Gamma$ 时的 Lebesgue 范数。我们所考虑的集 $\Gamma$ 为 Borel 可测、Lebesgue 零测但除此之外任意且具有正 Hausdorff 维数。我们的估计基于支撑于 $\Gamma$ 上测度的 Frostman 型球增长条件。对于大的 Lebesgue 指数 $p$，这些估计给出了限制于子流形的特征函数 $L^p$ 界的自然推广，后者此前在 \cite{Ho68, Ho71, Sog88, BGT07} 中获得。在对 $\Gamma$ 附加测度论假设下，估计在该范围内被证明是尖锐的。作为尖锐估计普适性的证据，我们提供一大类随机 Cantor 型非子流形集合，其中上述尖锐界几乎必然成立。