Kakeya-Nikodym平均与特征函数的$L^p$范数

我们给出了二维无边界紧致黎曼流形$M$上负拉普拉斯算子平方根的特征函数的$L^p$范数（$2<p<6$）相对于特征值$\lambda$的自然幂次较小的充要条件。确保这一点的条件是：当$\lambda$很大时，这些特征函数在任意单位测地线的$O(\lambda^{-1/2})$邻域上的$L^2$范数很小（例如，对于$S^2$上的最高权球谐函数，情况并非如此）。证明利用了高斯引理以及Hörmander在Carleson-Sjölin定理证明中使用的双线性振荡积分在远离对角线时行为越来越好的事实。我们的结果与Bourgain近期的一项工作相关，该工作表明，只要特征函数的$L^4(M)$范数同样较小，则特征函数在测地线上的$L^2$平均相对于特征值$\lambda$的自然幂次也很小。我们的结果意味着，如果对于某个$2<p<6$，$L^p$范数达到饱和，则二维无边界紧致黎曼流形$(M,g)$上不可能成立QUE。我们还证明，特征函数不可能沿着非光滑闭合的测地线段以最大速率集中$L^2$质量。