特征函数高$L^p$范数的增长：测地光束的一个应用

本文研究高能 Laplace 特征函数 $(-\Delta_g-\lambda^2)\phi_\lambda=0$、$\|\phi_\lambda\|_{L^2}=1$ 的 $L^p$ 范数。1988年，Sogge 给出了一般紧黎曼流形上 $\|\phi_\lambda\|_{L^p}$ 增长的最优估计。本文的目标是给出保证在 $p>p_c$（其中 $p_c$ 为临界指数）时 $L^p$ 估计定量改进的一般动力学条件。我们还应用作者先前的结果，在所有乘积流形等具体几何设定中获得定量改进。这些是基于纯动力学假设改进特征函数 $L^p$ 增长估计的首批结果。与以往的改进不同，我们的假设是局部的，即仅依赖于穿过 $M$ 中给定集合的收缩邻域的测地线。此外，本文给出了饱和定量改进 $L^p$ 界的特征函数的结构定理。忽略误差，该定理将这些特征函数描述为拟模态的有限和，大致上近似于球面上按 $1/\sqrt{\log \lambda}$ 缩放的带状球谐函数。