量子纠缠与拉普拉斯特征函数的增长

我们研究紧流形$(M,g)$上拉普拉斯特征函数$-\Delta \phi_k = \lambda_k \phi_k$的增长。Hörmander证明了$\| \phi_k\|_{L^{\infty}}$的精确多项式界，该界在球面上可达。在一个“通用”流形上，其行为似乎不同：数值模拟和Berry随机波模型均表明，典型行为是$\| \phi_k\|_{L^{\infty}} \lesssim \sqrt{\log{\lambda_k}}$。我们提出一种机制，围绕谱投影算子的$L^1-$类似物，来解释通用情形下的缓慢增长：要使$\phi_{n+1}(x_0)$很大，必须满足以下条件之一：(1) 前$n$个特征函数中有若干个在$x_0$处很大，或 (2) $\phi_{n+1}$在流形的大部分区域与前$n$个特征函数的某个适当线性组合强相关，或 (3) 两者兼有。一个有趣的副产品是拉普拉斯特征函数的量子纠缠：存在两个不同的点$x,y \in M$，使得序列$(\phi_k(x))_{k=1}^{\infty}$和$(\phi_k(y))_{k=1}^{\infty}$的行为不像独立随机变量。这种点的存在对于通用流形而言并非预期，但在经典流形上却很常见，并且与特征函数集中现象微妙地交织在一起。