结点集几何与离群点检测

设 $(M,g)$ 为紧致流形，$-\Delta \phi_k = \lambda_k \phi_k$ 为 Laplace 特征函数序列。我们提出了一种奇特的新现象，迄今为止我们仅在少数高度特殊的情况下设法对其进行了理解：函数族 $f_N:M \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ $$f_N(x) = \sum_{k \leq N}{ \frac{1}{\sqrt{\lambda_k}} \frac{|\phi_k(x)|}{\|\phi_k\|_{L^{\infty}(M)}}}$$ 似乎奇特地适用于检测流形上的异常点。它可以启发式地解释为到最近结点线距离的总和，并可能暗示了谱几何中的一个新现象。我们在单位正方形 $[0,1]^2$（极小值在 $\mathbb{Q}^2$ 中局部化）和 Paley 图（其中 $f_N$ 恢复了底层有限域 $\mathbb{F}_p$ 的二次剩余几何）上给出了严格陈述。数值算例表明，该现象似乎在相当一般的流形上也会出现。