截断分数阶高斯场的节点分量期望个数

设 $({\mathcal{X}},g)$ 为维数 $n>0$ 的闭黎曼流形。令 $\Delta$ 为 ${\mathcal{X}}$ 上的拉普拉斯算子，$(e\_k)\_k$ 为 $L^2$ 正交且稠密的拉普拉斯特征函数族，其对应特征值为 $(\lambda\_k)\_k$。我们假定 $(\lambda\_k)\_k$ 非递减且 $e\_k$ 为实值函数。令 $(\xi\_k)\_k$ 为独立同分布的 $\mathcal{N}(0,1)$ 随机变量序列。对每个 $L>0$ 与 $s\in{\mathbb{R}}$（可为负），定义$$f^s\_L=\sum\_{0<\lambda\_j\leq L}\lambda\_j^{-\frac{s}{2}}\xi\_je\_j\, .$$则 $f\_L^s$ 在其零集上几乎必然正则。令 $N\_L$ 为其零集的连通分量个数。若 $s<\frac{n}{2}$，我们推得存在 $\nu=\nu(n,s)>0$ 使得 $N\_L\sim \nu {Vol}\_g({\mathcal{X}})L^{n/2}$ 在 $L^1$ 与几乎必然意义下成立。特别地，${\mathbb{E}}[N\_L]\asymp L^{n/2}$。另一方面，我们证明若 $s=\frac{n}{2}$ 则$${\mathbb{E}}[N\_L]\asymp \frac{L^{n/2}}{\sqrt{\ln\left(L^{1/2}\right)}}\, .$$在后一情形，我们还给出了 $f\_L^s$ 零集的期望欧拉示性数及其贝蒂数的上界。在 $s>n/2$ 的情形， $f\_L^s$ 的点态方差收敛，故不期望当 $L\rightarrow+\infty$ 时具有普适行为。