分数阶拉普拉斯算子的非线性方程 I：正则性、最大值原理和哈密顿估计

这是两篇文章中的第一篇，讨论 $\mathbb{R}^{n}$ 中的方程 $(-\Delta)^{s} v= f(v)$，其中 $s\in (0,1)$，$(-\Delta)^{s}$ 表示分数阶拉普拉斯算子——一个 Lévy 过程的无穷小生成元。该方程可以在 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 中实现为一个局部线性退化椭圆方程，并在 $\partial \mathbb{R}^{n+1}_+=\mathbb{R}^{n}$ 上具有非线性 Neumann 边界条件。在这第一篇文章中，我们建立了非线性项 $f$ 允许特定类型解的必要条件，特别关注 $\mathbb{R}$ 上全体有界递增解。这些必要条件（将在后续论文中被证明也是存在有界递增解的充分条件）源自一个涉及哈密顿量的等式和估计——其精神源于 Modica 关于拉普拉斯算子的一个结果。此外，我们还研究了正则性问题，以及与方程相关的最大值原理和 Harnack 原理。