分数阶拉普拉斯算子的非线性方程 II：解的存在性、唯一性及定性性质

本文是 I 部分的续篇，研究方程 $(-\Delta)^{s} v+G'(v)=0$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 中的问题，其中 $s \in (0,1)$，$(-\Delta)^{s}$ 表示分数阶拉普拉斯算子——L\'evy 过程的无穷小生成元。当 $n=1$ 时，我们证明方程存在层解（即在 $\pm\infty$ 处极限为 $\pm 1$ 的递增解）当且仅当势函数 $G$ 在 $[-1,1]$ 中仅有两个绝对极小值点，位于 $\pm 1$ 且满足 $G'(-1)=G'(1)=0$。在附加假设 $G''(-1)>0$ 和 $G''(1)>0$ 下，我们还建立了其唯一性及在无穷远处的渐近行为。此外，我们给出了一个具体的、几乎显式的层解例子。对于 $n\geq 1$，我们证明了与某些解的一维对称性相关的一些结果——沿用了 De Giorgi 关于标准拉普拉斯算子的著名猜想的精神。