双曲空间上分数阶 Laplacian 的层状解：存在性、唯一性与定性性质

我们研究了方程 $$(-\Delta_{\mathbb H^n})^{\gamma} w=f(w)\quad in \mathbb H^{n},$$ 其中 $(-\Delta_{\mathbb H^n})^\gamma$ 对应于双曲空间上 $\gamma \in (0,1)$ 的分数阶 Laplacian，$f$ 是通常源自双阱势的光滑非线性项。我们证明了异宿连接的存在性，其含义如下：所谓的层状解是前述方程的光滑解，其在两个半球面 $S_\pm \subset \partial_\infty \mathbb H^n$ 的任意点处收敛于 $\pm 1$，并且关于到全测地超平面 $\Pi$ 的有向距离严格递增。我们证明了在非线性项满足附加条件下，解在等距变换意义下是唯一的。随后，我们给出了层状解的若干对称性结果和定性性质。最后，我们考虑了多层情形，至少在 $\gamma$ 接近 1 时。