分数阶拉普拉斯算子径向解的唯一性

我们证明了涉及分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$（其中 $s \in (0,1)$）的线性和非线性方程径向解的一般唯一性结果，适用于任意空间维数 $N \geq 1$。通过扩展 Cabre 和 Sire \cite{CaSi-10} 发现的单调性公式，我们表明，若势函数 $V$ 是径向且非递减的，则 $\mathbb{R}^N$ 中的线性方程 $(-\Delta)^s u+ Vu = 0$ 至多有一个在无穷远处消失的径向有界解。特别地，该结果意味着相应分数阶薛定谔算子 $H=(-\Delta)^s + V$ 的所有径向本征值都是单重的。此外，通过将这些关于线性方程的发现与上半空间 $\mathbb{R}^{N+1}_+$ 上相关问题的拓扑界相结合，我们证明了非线性方程 $(-\Delta)^s Q + Q - |Q|^{\alpha} Q = 0$ 在任意空间维数 $N \geq 1$ 和所有允许指数 $\alpha >0$ 下的基态解的唯一性和非简并性。这推广了前两位作者最近在 \cite{FrLe-10} 中获得的维数 N=1 时的非简并性和唯一性结果，特别是 Amick 和 Toland \cite{AmTo-91} 发现的 Benjamin--Ono 方程孤立波的唯一性结果。