磁 Schr"odinger 算子特征函数的一些定量唯一延拓结果

我们证明了方程 $-\Delta u + W\cdot \nabla u + Vu = \lambda u$ 解的定量唯一延拓结果，其中 $\lambda \in \mathbb{C}$，$V$ 和 $W$ 是满足 $|V(x)| \lesssim \langle x\rangle^{-N}$ 和 $|W(x)| \lesssim \langle x\rangle^{-P}$ 的复值衰减势。对于 $M(R) = \inf_{|x_0| = R}||u||_{L^2(B_1(x_0))}$，我们表明如果解 $u$ 非零、有界且 $u(0) = 1$，则 $M(R) \gtrsim \exp(-C R^{\beta_0}(\log R)^{A( R)})$，其中 $\beta_0 = \max\{2 - 2P, \frac{4-2N}{3}, 1\}$。在关于 $N$、$P$ 和 $\lambda$ 的某些条件下，我们构造了示例（其中一些采用 Meshkov 风格）以证明该 $M(R)$ 估计是尖锐的。即，我们构造了函数 $u, V$ 和 $W$，使得 $-\Delta u + W\cdot \nabla u + Vu = \lambda u$，$|V(x)| \lesssim \langle x\rangle^{-N}$，$|W(x)| \lesssim \langle x\rangle^{-P}$ 且 $|u(x)| \lesssim \exp(-c|x|^{\beta_0}(\log |x|)^C)$。